Zufallsgeber in Geldspielgeräten
von Wolfgang Scheibe, Berlin
wissenschaftlicher Mitarbeiter im Laboratorium für Spielgeräte und Hygrometrie der PhysikalischTechnischen Bundesanstalt, Institut Berlin.
Zufallsmäßig erzeugte Zahlenfolgen, wie wir sie beispielsweise vom Roulette her kennen, werden auf den verschiedensten Gebieten angewendet. So erfolgt die Qualitätsprüfung in der industriellen Massenfertigung anhand einiger weniger zufallsmäßig ausgewählter Einzelstücke der Serie. In der Statistik werden zufällige Zahlenfolgen benötigt, um eine Auswahl des zu untersuchenden Zahlenmaterials zu ermöglichen.
Gewisse mathematische und physikalische Probleme nichtstatistischer Art werden dadurch gelöst, daß man diesen bekannte Wahrscheinlichkeitsprobleme zuordnet und die Monte-Carlo-Methode anwendet; hierzu sind längere Folgen von Zufallszahlen erforderlich [1]. Hergestellt werden derartige Zufallsfolgen mit Vorrichtungen, die man als Zufallsgeber bezeichnet. Für kleine Zufallsfolgen kann dies ein Würfel, ein Roulette sein, für umfangreiche Zufallsfolgen ist es ein Rechenautomat [2] oder ein elektronischer Zufallsziffernangeber [3].
Die Anwendung eines Zufallgebers beschränkt sich nicht nur auf die Erzeugung zufälliger Zahlenfolgen, vielmehr lassen sich auch zufällig folgende Schaltspiele erzeugen, mit denen man Maschinen steuern kann. So sind Geräte bekannt, welche die automatische Verschlüsselung von Fernschreibnachrichten gestatten [4]. In derTextilindustrie werden zur Vermeidung unerwünschter Interferenzmuster Textilmaschinen nach Zufallsfolgen gesteuert [5]. Als Zufallsgeber dienen hier elektrische oder durch radioaktive Substanzen erzeugte Impulse. Schließlich werden die Merkmalsträger von Geldspielgeräten zufallsmäßig gesteuert. Der nachstehende Beitrag zeigt
A) mit welchen Methoden eine Zufälligkeit festgestellt werden kann und
B) welche Anforderungen von einem Steuerorgan eines Geldspielgerätes erfüllt werden müssen.
A) Zufällige Zahlenfolgen
Um die Frage zu klären, ob die von Spiel zu Spiel angezeigten Merkmale zufallsmäßig aufeinander folgen, greift man auf das Kriterium für zufällige Zahlenfolgen zurück, wie es in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung definiert ist [3] [6].
Eine Folge von Zufallszahlen (o°-Zahlenfolge) ist ein Kollektiv, in dem für kein Glied irgendein Merkmal als besonders wahrscheinlich vorausgesagt werden kann, und zwar weder auf Grund seiner Häufigkeit innerhalb des Kollektivs noch auf Grund der Nummer des Gliedes.
Somit ergibt sich als Kriterium für die Zufälligkeit einer Zahlenfolge die Erfüllung der beiden folgenden Forderungen:
1. Die Gleichwahrscheinlichkeits-Forderung: Sie ist erfüllt, wenn jedes Merkmal innerhalb des Kollektivs mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt.
2. Die Regellosigkeits-Forderung: Sie ist erfüllt, wenn für jede beliebige Teilfolge die Gleichwahrscheinlichkeits-Forderung erfüllt ist, wobei die Teilfolge nicht nach deren Merkmalen zusammengestellt werden darf.
Auf unser Problem übertragen, wird man eine große Anzahl**) von Spielen durchführen müssen und die Ergebnisse der mit 0-9 indizierten Merkmalsträger (für 10 Merkmale) registrieren.
Das Ergebnis gibt die Häufigkeit für das einzelne Merkmal an. Ist sie für die einzelnen Merkmale gleich groß, so ist die Gleichwahrscheinlichkeits-Forderung erfüllt.
Zur Prüfung der Regellosigkeitsforderung hat es sich als zweckmäßig erwiesen, eine Zahlenfolge aus der Differenz zweier aufeinander folgender Zahlen der o°-Zahlenfolge zu bilden. Diese neue A,-Zahlenfolge wird wie die A°-Zahlenfolge auf die Gleichwahrscheinlichkeit der Merkmale untersucht. Sie zeichnet sich im übrigen dadurch aus, daß durch sie die Änderung der Merkmale zwischen zwei Spielen eindeutig charakterisiert wird.
** Im strengen Sinne derWahrscheinlichkeitsrechnung stellen z. B. 1000 Spiele noch keine große Anzahl dar. Mit Abweichungen von der theoretischen Häufigkeit p, die bei kleinerem Kollektiv um so größer sind, ist daher zu rechnen. Sie sind in dem Tafelwerk von Koller [7] zusammengestellt. Danach beträgt für n = 1000 Spiele und p = 10% die obere Abweichung 30/o und die untere Abweichung 2,8 %, d. h. um der Gleichwahrscheinlichkeitsforderung zu genügen, muß bei 1000 Spielen jedes der 10 Merkmale zwischen 130 und 72 mal erscheinen. Eine näherungsweise Berechnung der zulässigen Häufigkeit läßt sich für n Z 1000 über die Bestimmung der 3 a-Grenze mit a = V n. p. q durchführen, wobei n = Zahl der Spiele, q = theoretische Häufigkeit für das Nichterscheinen des Merkmals, p = theoretische Häufigkeit für das Erscheinen eines Merkmals, p + q = 1 ist.
B) Steuerorgan in Geldspielgeräten
Die wesentlichen Bestandteile der Geldspielgeräte sind um ihre Achsen bewegliche Scheiben oder Walzen mit darauf angeordneten Merkmalen. Bei mechanisch angetriebenen, d. h. von Hand betriebenen Geraten, werden die Merkmalsträger über einen Hebelmechanismus zur freien Rotation gebracht und, ehe sie infolge Reibung zum Stillstand kommen, durch gesteuerte Rasthebel angehalten. Im Gegensatz dazu sind die Merkmalsträger der elektrisch betriebenen Geräte mit einem Motor starr gekoppelt, und die Steuerung des Spielablaufes erfolgt über einen Programmgeber. Als Folge der Programmsteuerung resultiert eine nahezu konstante Laufzeit der Merkmalsträger (Abb. la) und damit eine unerwünschte Vorherbestimmbarkeit des erscheinenden Ereignisses aus der Kenntnis der Ergebnisse vorheriger Spiele. Ein Zufallsgeber hat daher die Aufgabe, die Laufzeit regellos zu variieren und damit ein zufälliges Erscheinen der Merkmale zu bewirken. Diese Aufgabe kann bereits von einem Bauelement, einem Schaltzeitvariator, erreicht werden, meistens ist dazu jedoch ein weiteres Bauelement, ein Anlaufvariator notwendig (Abb. lb).
Mechanisch angetriebene Spielgeräte benötigen keine speziellen Zufallsgeber, da der von Hand bewirkte Antrieb des Merkmalsträgers und seine freie Rotation die Merkmale zufällig erscheinen läßt. Für elektrisch angetriebeneSpielgeräte kommen vornehmlich die folgenden Typen von Schaltzeitvariatoren zurAnwendung: Nockenscheibe mit Exzenterrädchen, Dose mit Distanzkörper, freilaufende Walze mit Schaltnocken und Trichter mit Schleuderkugel. Da die beiden erstgenannten hauptsächlich verwendet werden, soll die vorliegende Arbeit auf die Behandlung dieser Variatoren beschränkt bleiben.
1) Geldspielgeräte mit außer Funktion gesetztem Zufallsgeber
Zunächst soll gezeigt werden, welche Häufigkeitsverteilung an Geräten zu beobachten ist, bei denen der Zufallsgeber, also der Schaltzeit-und Anlaufvariator,außer Funktion gesetzt ist. Aus Abb. 2 ist zu ersehen, daß die Häufigkeitsverteilung der einzelnen Merkmale zwar der Gleichwahrscheinlichkeitsforderung entspricht; dagegen weist die o1-Verteilung mit den Differenzen 0 und 1 eine ausgesprochene Bevorzugung auf, während die Differenzen 4, 5 und 6 überhaupt nicht auftreten. Dieses Ergebnis zeigt, daß der Merkmalsträger bereits allein durch seine Antriebsorgane eine gewisse Variation der Laufzeiten erfährt (Abb. l a), die jedoch nicht ausreicht, um die geforderte Zufälligkeit zu erreichen.
2) Geldspielgeräte mit Zufallsgeber
Damit Geldspielgeräte auch die schwieriger zu erreichende Regellosigkeitsforderung neben der Gleichwahrscheinlichkeits-Forderung*) erfüllen, ist eine zusätzliche Steuerung durch einen Zufallsgeber im Gerät notwendig. Während man zunächst hoffte, allein mit einem Schaltzeitvariator auszukommen, zeigte es sich sehr bald, daß neben diesem noch ein Anlaufvariator notwendig ist, um die Regellosigkeitsforderung zu erfüllen.
a) Nockenscheibe mit Exzenterrädchen
Als Schaltzeitvariator dient in vielen Geräten eine Nockenscheibe mit Exzenterrädchen, welche den Laufzeitbeginn des Merkmalsträgers über einen feststehenden Federsatz schaltet. Während bei dieser Anordnung (Abb. 3) der Kontaktschluß durch Auflaufen bei A eintritt, erfolgt die Kontakt-Freigabe entsprechend der Stellung des Exzenterrädchens variierend bei Co, C1 ... , so daß sich damit variierende Laufzeiten des Merkmalsträgers einstellen. Prüft man die Spielergebnisse eines
*) Die Gleichwahrscheinlichkeits-Forderung wird durch den starr ablaufendenAntriebsmechanismus der Geräte begünstigt und kann leicht zu periodischen Zahlenfolgen wie z. B. oo = 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 .. . führen, die mit A, = 3 natürlich nicht der Regellosigkeitsforderung genügen; auch auftretende „Sprünge" in der Folge führen nur zu einigen weiteren Delta-Werten.
Gerätes mit Schaltzeitvariator auf Zufälligkeit, so zeigt sich, daß die Forderung nach Gleichwahrscheinlichkeit erfüllt ist, dagegen auch jetzt nicht die Forderung nach Regellosigkeit. Lassen sich nun Gründe anführen, welche die ungenügende Funktionsweise des Nockens mit Exzenterrädchen erklären?
Zu untersuchen sind die folgenden Fragen:
a. Verläuft die Steuerung durch den Schaltzeitvariator regellos oder liegt seine Vorbestimmbarkeit, d. h. Berechenbarkeit vor?
b. Inwieweit können die Bauelemente des Gerätes die angebotenen Schaltzeiten des Schaltzeitvariators verarbeiten?
Die Untersuchung auf Berechenbarkeit erstreckt sich zweckmäßig auf ein idealisiertes Modell, das schwer zu erfassende Faktoren der technischen Ausführung, wie Schlupf und Reibung ausschließt. Aus Gründen der Vereinfachung soll ferner der Kontaktschließungsbogen mit dem Kreisbogen der Nockenscheibe zusammenfallen (Abb. 3), C geht damit in D über. Bestimmt man die sich von Spiel zu Spiel ändernden Orte D, so ergibt sich die Nockenlänge A - D6, D1, D2 . . . und bei Vorgabe der Nockenscheibenumdrehungen die Laufzeit der Merkmalsscheibe. Der Ablauf der Nockenscheibe und des Exzenterrädchens legt die Bestimmung von D nach den Methoden der analytischen Geometrie nahe*). Die Ergebnisse der Berechnung von D nach dem angeführten Verfahren sind für zwei Beispiele in Tabelle 1 niedergelegt, wobei der Drehpunkt P für Modell 1 so gewählt ist, daß das Exzenterrädchen in einer möglichen Stellung den Nocken tangiert, d. h. daß der Federsatz das Rädchen gerade noch mitnimmt.
Für Modell 1 fällt der geometrische Ort des 16. Spieles D,6 mit dem Ausgangsspiel D6 faktisch zusammen, das bedeutet, daß sich die folgenden Spiele wiederholen. Modell 2 läßt zwar nach 19 Spielen noch keine Periode erkennen, doch ist auch hier eine lange Periode bei optimaler Konstellation der verschiedenen Parameter (Nockenscheibenradius, Nockenradius, Exzenterrädchenradius, Exzentrizität, Drehpunkt) nicht auszuschließen.
Die hier gezeigte Berechnung des idealisierten Modelles an zwei Beispielen beantwortet die obengestellte Frage dahin, daß der Funktionsablauf des Nockenrades mit Exzenterrädchen nicht regellos erfolgt und somit eine Ursache für das Versagen ist.
Zur zweiten Fragestellung: Betrachtet man beispielsweise von Modell 2 die dicht beieinanderliegenden Laufzeiten des Merkmalsträgers für die Orte D6, D8, D10, Der D14, so stellt sich die Frage, können diese geringen Zeitunterschiede von dem Haltemechanismus so aufgenommen und weitergegeben werden, daß im Ergebnis 10 unterschiedliche Differenzen gleichhäufig auftreten? Um diese Frage zu beantworten, wurden die Laufzeiten von 200 Spielen aufgenommen und den dazugehörigen
Bewegt sich nach Abb. 3 die Nockenscheibe im Uhrzeigersinn, so läuft das Exzenterrädchen in entgegengesetzter Drehrichtung von A1 nach D1 ab, das bedeutet r1 dreht sich um C, = 180° - a1 + ß1. Um den gleichen Winkel bewegt sich der Mittelpunkt des Exzenterrädchens auf dem Mittelpunktkreis mit dem Radius e von M, nach M2, so daß jetzt das Exzenterrädchen den Nocken im Punkte A1 schneidet. Beim nächsten Umlauf dreht sich r2 um C, = 180° - a2 + ß2 nach D2 u. s. f. Die Schnittpunkte A6, A, ... lassen sich aus den Kreisgleichungen für das Exzenterrädchen und für den Nockenkreis berechnen, während sich die Schnittpunkte D0, D, . sich aus den Kreisgleichungen der Kreise r0, r1 . . . mit dem Kreis d der Nockenscheibe ergeben.
Differenzen Al zugeordnet. Da eine Umdrehung der in 10 Rastfelder geteilten Merkmalsscheiben in 0,22 s abläuft, müßten 10 unterschiedliche Laufzeitgruppen mit einer Zeitdifferenz von rd. 0,02 s in einer Häufigkeit von 20 Laufzeiten je Gruppe, wie es in Abb. 4a dargestellt ist, nachzuweisen sein (durch die eingezeichneten Grenzen ist der Streubereich festgelegt, innerhalb dessen die Häufigkeit der beobachteten Laufzeiten streuen darf). Die Messungen an dem Schaltzeitvariator zeigen (Abb. 4b) hingegen mehr als 10 Laufzeitgruppen, deren Laufzeiten in ungleicher Häufigkeit die Differenzen 0-9 bestimmen. Gewisse Differenzen werden sowohl durch eine hohe, als auch durch eine niedrige Laufzeitgruppe bestimmt, sie unterscheiden sich um die Zeit eines vollen Umlaufes der Merkmalsscheibe. Summiert man die Laufzeiten gleicher Differenzen - für das Erscheinen einer Differenz ol ist es belanglos, ob diese durch einen Umlauf mehr oder weniger entsteht -, so erhält man mit Abb. 4c die Verteilung der Häufigkeit der Laufzeiten über die Differenzen 0-9.
Wie die Ergebnisse zeigen, ist die Verteilung der Laufzeiten und damit der Schaltzeiten auf die einzelnen Differenzen nicht gleichmäßig, so daß der Streubereich nicht eingehalten wird. Die Ursache dafür ist in dem Verhalten des Variators zu sehen, der dem Haltemechanismus mehr als zehn Schaltzeiten anbietet, die dieser nicht in 10 gleichhäufig erscheinende Differenzen ol aufzunehmen vermag. Um eine Änderung einer Differenz ol herbeizuführen, müssen dem Haltemechanismus Schaltzeiten angeboten werden, die das Vielfache des Wertes von 0,02 s betragen. Eine Änderung um kleinere Beträge, wie es das berechnete Modell ergibt, führt zu einem bevorzugten Erscheinen bestimmter Merkmale, so daß eine Summierung der Laufzeitenanzahl je Laufzeitgruppe nicht zu einer Gleichverteilung über die Differenzen 0-9 entsprechend Abb. 4a führt.
Da der Nocken mit Exzenterrädchen offensichtlich seine ihm zugedachte Funktion als Zufallsgeber nicht voll erfüllt, wird in den Programmablauf zusätzlich ein Anlaufvariator eingebaut. Dieser besteht aus einem Federsatz, der durch einen weiteren Nocken gesteuert wird. Er ist mit einem Einschaltfedersatz in Reihe geschaltet, so daß das Spiel erst anläuft, wenn beide Federsätze geschlossen sind. Der sich drehende Nocken bewirkt eine von Spiel zu Spiel verschiedene Anlaufverzögerung. (Messungen an nur mit Anlaufvariator arbeitenden Spielgeräten haben ergeben, daß dieses Bauelement die angestrebte Gleichwahrscheinlichkeit und Regellosigkeit nicht bewirkt). Das zufallsmäßige Auftreten der Merkmale wird bereits bei 1000 Spielen erreicht, wenn die Programmsteuerung neben den Nockenscheiben mit Exzenterrädchen auch einen Anlaufvariator aufweist. Im Gegensatz zu den Messungen ohne Anlaufvariator weisen nun die Laufzeiten für alle Differenzen ol unterschiedliche Zeitgruppen auf, sie weichen um Vielfaches der Zeit einer Umdrehung des Merkmalsträgers voneinander ab. Die Ursache dafür ist in dem Anlaufvariator zu sehen, der eine zusätzliche Zahl kleiner Laufzeitgruppen auf Kosten der hohen Laufzeiten anbietet, wie aus dem Vergleich der Abb. 4d und Abb. 4b zu ersehen ist. Summiert man auch hier die Häufigkeit der gemessenen Laufzeiten gleicher Differenzen A1, so erhält man, wie Abb. 4e erkennen läßt, die Verteilung der Häufigkeit der Laufzeiten, die nun innerhalb des Streubereiches liegt, und somit die Forderung auf Regellosigkeit erfüllt.
Dieses Ergebnis zeigt, daß es möglich ist, die nicht zufallsmäßig erscheinenden Ereignisse eines durch Nocken mit Exzenterrädchen gesteuerten Spielablaufes durch einen dem Schaltzeitvariator vorgeschalteten Anlaufvariator in ein zufällig ablaufendes Spiel umzuwandeln. Ob dieser Mechanismus der Bedingung für das Erscheinen zufälliger Ereignisse auch einer sehr großen Anzahl von Spielen genügt, darf bezweifelt, wenn nicht gar verneint werden, da es sich sowohl bei dem Schaltzeitvariator, als auch bei dem Anlaufvariator letztlich um berechenbare, d. h. gesetzmäßige Abläufe handelt. Für die Praxis ist es jedoch ausreichend, wenn sich eine Gesetzmäßigkeit bereits bei einigen tausend Spielen nicht erkennen läßt.
In diesem Zusammenhang sei noch auf die Bedeutung der funktionsgerechten Lagerung des Exzenterrädchens auf seiner Achse am Nockenrand für das zufallsmäßige Erscheinen der Merkmale hingewiesen. Ist eine präzise Mitnahme des Rädchens und seine sichere Fixierung bis zur nächsten Mitnahme nicht gewährleistet, so stellt sich unter Umständen eine Häufigkeitsverteilung ein, die so stark aus der 3 a-Grenze herausfällt, daß der Anlaufvariator, der ja auf den Schaltzeitvariator abgestimmt ist, eine Gleichverteilung nicht mehr herstellen kann.
b) Dose mit Distanzkörper
Dieser Schaltzeitvariator ermöglicht eine zufallsabhängige unterschiedliche Laufzeit der Merkmalsträger dadurch, daß aus einer Anzahl verschieden bemessener Distanzkörper ein Distanzkörper, in einer sich drehenden Dose, durch einen Mischvorgang zufällig gewählt, die Höhe eines veränderbaren Nockens bestimmt und dadurch einen Federkontakt schaltet (Abb. 5) [8]. Die Distanzkörper sind als Rollen mit unterschiedlichen Durchmessern ausgeführt, ihre Mischung erfolgt durch überrollende Bewegung und freies Fallen in der Ebene der Dose. Ein seitliches Ausbrechen der Rollen und damit ein Mischen im Raum erfolgt nicht, da die Raumhöhe der Dose der Rollenlänge entspricht. Beobachtet man den bei jedem Umlauf mitgenommenen Distanzkörper, so so zeigt sich in Abb. 6 für die 10 Distanzkörper (0-9) eine Häufigkeitsverteilung, die der Forderung der Gleichwahrscheinlichkeit.
Der Vorteil dieser Konstruktion liegt nicht allein in der zufallsmäßigen nichtberechenbaren Durchmischung, sondern auch in der freien Bestimmbarkeit des Durchmessers der Distanzkörper. Durch richtiges Abstufen der Durchmesser der 10 Distanzkörper sollten definierte Laufzeiten sich so vorbestimmen lassen, daß den 10 Merkmalen nur 10 Laufzeiten bzw. Laufzeitgruppen entsprechen. Die Messung in einem Geldspielgerät mit außer Funktion gesetztem Anlaufvariator zeigt in Abb. 7b hingegen 13 Laufzeitgruppen, deren Laufzeiten in ungleicher Häufigkeit die Differenzen 0-9 bestimmen. Summiert man auch °fier die Zahl der Laufzeiten gleicher Differenzen, so erhält man in Abb. 7c eine Verteilung, die mit der Differenz 5 bei 200 Spielen gerade die Grenze des Streubereichs einhält. Ein Vergleich dieser Verteilung mit der entsprechenden des Schaltzeitvariators: Nocken mit Exzenterrädchen, zeigt eine augenscheinlich bessere Verteilung, die auch der Idealverteilung Abb. 7 schon recht nahe kommt. Jedoch weiß man aus der A,-Verteilung über 1000 Spiele, daß die Differenz 5 doch aus dem Streubereich herausfällt. Die Ursache für das Versagen des Schaltzeitvariators als Zufallsgeber ist in Einflüssen bestimmter Bauelemente des Gerätes wie Antrieb, Haltevorrichtung, Schalthebel zu suchen, da die Distanzkörper (Abb. 6) regellos durchmischt werden. Durch den Einbau eines zusätzlichen Anlaufvariators wird die Forderung nach Regellosigkeit erreicht. Abb. 7d zeigt, daß der Anlaufvariator auch hier, wenngleich in geringerem Maße, zu einem Angebot niedriger Laufzeiten auf Kosten der hohen Laufzeiten führt. Die Summierung ergibt eine Verteilung, die innerhalb des Streubereichs liegt (Abb. 7e).
Literatur
[1] Crone, 1.: Einige Anwendungsmöglichkeiten der MonteCarlo-Methode, Fortschr. Phys. 3 (1955) S. 97.
[2] Hoerner, S. v.: Herstellung von Zufallszahlen auf Rechenautomaten. Z. f. angew. Math. u. Phys. 8 (1957) S.26.
[3] Hartenstein, R.: Ein elektronischer Zufalisziffernangeber. Elektronik 10 (1961) S. 299.
[4] Mitteilung der C. Lorenz AG: Gerät zur Erzeugung von zufallsmäßig verteilten Impulskombinationen für die Verschlüsselung von Fernschreibnachrichten („WürfelLocher"). SEG-Nachrichten 4 (1956) S. 188.
[5] Generator für aperiodische Auslöseimpulse PT 1371. Techn. Unterlagen d. Fa. Philips Industrie Elektronik GmbH N r. 9,1963.
[6] Mises, R. v.: Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit. Wien: Springer 1951.
[7] Koller, S.: Graphische Tafeln zur Statistik. 3. Aufl., Darmstadt: D. Steinkopf. 1953.
[8] DBP 1 126 964 v. 5. April 1962.
aus dem Automatenmarkt 5/1966